👤
BAIATUL122001ZE
a fost răspuns

Demonstrati ca functia f:[0;+∞)→[0;+∞) , f(x)=x² este inversabila si inversa ei este g:[0;+∞)→[0;+∞) , g(x)=√x.Reprezentati grafic cele doua functii in acelasi sistem de axe.Stabiliti daca functiile sunt concave sau convexe.Aflati punctele de intersectie ale graficelor lor.


a=1>0=>f-strict crescatoare pe [0;+∞)=> f este injectiva (1)
x∈[0;+∞)=>x≥0|*x=>x²≥0=>Im f=[0;+∞)=[0;+∞)=>f este surjectiva (2)
Din (1) si (2)=> f este bijectiva=>f este inversabila =>∃f⁻¹:[0;+∞)→[0;+∞) 
 iar de aici ce fac?

Răspuns :

GREENEYES71ZE
Salut,

Te felicit pentru rezolvarea parțială, este corectă. O mică remarcă:

Im f=[0;+∞)=[0;+∞), aș adăuga că imaginea funcției este egală cu codomeniul, deci funcția este surjectivă.

În continuare, ai așa: f(x) = x², sau y = x², îl afli pe x funcție de y:

x = √y, deci inversa funcției f(x) este g(y) = √y. Notația este arbitrară, deci putem scrie g(x) = √x, unde g:[0;+∞)→[0;+∞).

Am atașat graficele celor 2 funcții. Funcția f(x) este convexă (ține apa), iar funcția g(x) este concavă (nu ține apa).

Punctele de intersecție se află rezolvând ecuația x² = √x, cu x ≥ 0.

Ridicăm la pătrat: x⁴ = x, sau x⁴ -- x = 0, sau x(x³ -- 1) = 0, sau

x(x -- 1)(x² + x + 1) = 0, deci:

x₁ = 0, primul punct de intesecție este P₁(0,0), se vede și pe grafic;

x₂ = 1, al doilea punct de intesecție este P₂(1,1), se vede și pe grafic;

x₃ și x₄ nu sunt valori reale pentru că în cazul lui x² + x + 1 = 0, avem că Δ < 0.

Green eyes.
Vezi imaginea GREENEYES71
Vă mulțumim că ați accesat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați la favorite!


Ze Studies: Alte intrebari