Suma din partea stângă se poate scrie :
[tex]\it s = \dfrac{\sqrt{1\cdot2}}{3} + \dfrac{\sqrt{2\cdot3}}{5} + \dfrac{\sqrt{3\cdot4}}{7} +\ ...\ + \dfrac{\sqrt{2017\cdot2018}}{4035} [/tex]
Se poate observa că suma conține 2017 termeni.
Fiecare termen al acestei sume este de forma :
[tex]\it \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{n+n+1} = \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1}\ \ \ \ (1)[/tex]
Inegalitatea mediilor (Mg ≤ Ma), aplicată numărătorului fracției, implică:
[tex]\it \sqrt{n(n+1)} \leq \dfrac{n+n+1}{2} \Rightarrow \sqrt{n(n+1)} \leq \dfrac{2n+1}{2} \ \ \ \ (2)[/tex]
[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow \dfrac{\sqrt{n(n+1)}}{2n+1} \leq \dfrac{\dfrac{2n+1}{2}}{2n+1} = \dfrac{2n+1}{2(2n+1)}=\dfrac{1}{2}[/tex]
Așadar, fiecare dintre cele 2017 fracții ale sumei este ≤ 1/2. Prin urmare, se
poate scrie :
[tex]\it s\leq \ \underbrace{\it\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} +\ ...\ +\dfrac{1}{2}}_{2017\ termeni } \Rightarrow s \leq 20017\cdot\dfrac{1}{2} \Rightarrow s \leq \dfrac{2017}{2}[/tex]
