Demonstrează ca n^3+11n este divizibil cu 6 pentru oricare ar fi n număr natural.
Fie P(n) = n^3+11n≥ 0 (merge si cu 0 !)
Pasul 1, verificam cazul particular al primelor 2 numere din sir:
Pentru n=0, P(0)= 0^3+11*0=>P(0)=0+0=>P(0)=0, deci divizibil cu 6.
Pentru n=1, P(1)= 1^3+11*1=>P(1)=1+11=>P(1)=12, deci divizibil cu 6.
Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.
Deci n^3+11n=6a (divizibil cu 6)=>n^3=6a-11n
P(n+1) = (n+1)^3+11(n+1)
Calculam (n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
=>P(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+11(n+1) =n^3+3n^2+3n+1+11n+11
=>P(n+1) =n^3+11n + 3n^2+3n+12=>
=>P(n+1) =6a+3n(n+1)+12=>
=>P(n+1) =6a+3(n^2+n+4)
Pentru a avea toata suma divizibila cu 6 trebuie ca si ce avem in paranteza sa fie divizibil cu 2(6a este deja multiplu de 6, prin presupunerea facuta)
Inductie din nou:
Fie P"(n) =(n^2+n+4) ≥ 0
n=1 1+1+4=6 divizibil cu 2
n=2 4+2+4=10, divizibil si el cu 2
Pasul 2, demonstram ca daca P"(n) adevarata, atunci P"(n+1) adevarata.
Deci n^2 + n + 4= 2a
P"(n+1)=(n+1)^2 +(n+1) + 4 = n^2 +2n + 1 + n + 1 + 4 = n^2 + n + 4 +2(n+1) =
=2a +2(n+1)=2(a+n+1)=>P"(n+1) divizibil cu 2.
Rezulta P"(n) adevarat=> P(n) adevarat
Demonstrează ca 6^(2n -1)+1 este divizibil cu 7 pentru oricare ar fi n număr natural.
Fie P(n) = 6^(2n -1)+1≥ 0 (merge si cu 0 !)
Pasul 1, verificam cazul particular al primului numar din sir:
Pentru n=0, P(0)= 6^(2*0 -1)+1=>P(0)=6^(0-1)+1=>P(0)=6^(-1)+1=>
=>P(0)=1/6 +1=>P(0)=(1+6)/6=>P(0)=7/6, deci divizibil cu 7.
Pasul 2, demonstram ca daca P(n) adevarata, atunci P(n+1) adevarata.
Deci 6^(2n -1)+1=7a (divizibil cu 7)=> 6^(2n -1)=7a-1=>(6^2n)*1/6=7a-1=>
=>6^2n=(7*a-1)*6
P(n+1) = 6^[2(n+1)-1]+1 =>P(n+1) = 6^(2n +1)+1=>
=>P(n+1) =(6^2n)*6+1=>P(n+1) =[(7*a-1)*6]*6+1=>
=>P(n+1) =42*6*a-36+1=>P(n+1) =36*7*a-35=>P(n+1) =36*7*a-5*7=>
=>P(n+1) =7*(36*a-5)=>deci P(n+1) divizibil cu 7.
Rezulta P(n) adevarat.
