Stim urmatoarele lucruri:
[tex]i^1=i\\
i^2=-1\\
i^3=i^2i=-i\\
i^4=(i^2)^2=1\\
i^5=i[/tex]
Valorile se repeta din 4 in 4, deci valoarea lui i^n depinde de restul impartirii lui n la 4:
[tex]i^n=\left\{\begin{array}{ll}
1\ ,\ \ \ n=4k\\
i\ , \ \ \ \ n=4k+1\\
-1\ , \ n = 4k+2\\
-i\ ,\ n=4k+3\\
\end{array}\right[/tex]
[tex]i \cdot i^3\cdot i^4\cdot...\cdot i^{2018} = \cdot i^{1+3+4+...+2018}\\
S=1+3+4+...+2018=(1+2+3+...+2018)-2=\frac{2018\cdot2019}{2}-2\\
\text{ }\text{ } =1009\cdot 2019-2[/tex]
Trebuie sa vedem care e restul impartirii la 4 a acelei sume. Puteam s-o calculam, dar nu are rost:
O sa notez cu cu M4 orice multiplu de 4. Astfel:
M4 +/- M4 = M4
M4 * M4 = M4
1009 = M4 + 1
2019 = M4 + 3
[tex]S=(\mathcal{M}4+1)(\mathcal{M}4+3)-2=\mathcal{M}4+3-2=\mathcal{M}4+1\rightarrow i^S=i[/tex]
