Vom vedea ce se intampla cu (1 + i)^n si (1 - i)^n, pe masura ce le ridicam la putere:
[tex](1+i)^1=\boxed{1+i}\\
(1+i)^2=1+2i-1=\boxed{2i}\\
(1+i)^3=(1+i)^2(1+i)=2i(1+i)=\boxed{2(i-1)}\\
(1+i)^4=((1+i)^2)^2=(2i)^2=\boxed{-2^2}\\
(1+i)^5=(1+i)^4(1+i)=\boxed{-2^2(1+i)}\\
(1+i)^6=((1+i)^2)^3=\boxed{-2^3i}\\
(1+i)^7=(1+i)^6(1+i)=-2^3i(1+i)=\boxed{-2^3(i-1)}\\
(1+i)^8=((1+i)^2)^4=\boxed{2^4}\\
(1+i)^9=2^4(1+i)\\
(1+i)^{10}=((1+i)^2)^5=2^5i[/tex]
Se observa ca puterile lui 2 cresc, iar termenii cu i incep sa se repete. Toate astea se vor repeta din 8 in 8.
[tex](1-i)^1=\boxed{1-i}\\
(1-i)^2=1-2i-1=\boxed{-2i}\\
(1-i)^3=(1-i)^2(1-i)=-2i(1-i)=\boxed{-2(1+i)}\\
(1-i)^4=((1-i)^2)^2=\boxed{-2^2}\\
(1-i)^5=(1-i)^4(1-i)=-2^2i(1-i)=\boxed{-2^2(1-i)}\\
(1-i)^6=((1-i)^2)^3=\boxed{2^3i}\\
(1-i)^7=(1-i)^6(1-i)=\boxed{2^3(1+i)}\\
(1-i)^8=((1-i)^2)^4=\boxed{2^4}\\
(1-i)^9=(1-i)^8(1-i)=2^4(1-i)
[/tex]
Se observa si aici ca puterile lui 2 cresc din 2 in 2 pozitii, la fel ca la prima, iar termenii au o regula din 8 in 8. Acum nu ne mai ramane decat sa le analizam.
Termenii depind de restul impartirii la 8. Dar se observa ca unii termeni sunt opusul celorlalti, deci se poate reduce la restul impartirii la 4:
[tex](1+i)^n=\left\{\begin{array}{ll} \mp 2^a\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=4k\\ \pm 2^a(1+i)\ ,\ n=4k+1\\ \pm 2^ai\ , \ \ \ \ \ \ \ \ n=4k+2\\ \pm 2^a(i-1)\ ,\ n=4k+3 \end{array}\right[/tex]
[tex](1-i)^n=\left\{\begin{array}{ll} \mp 2^a\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=4k\\ \pm 2^a(1-i)\ ,\ n=4k+1\\ \mp 2^ai\ , \ \ \ \ \ \ \ \ n=4k+2\\ \mp 2^a(1+i)\ ,\ n=4k+3 \end{array}\right[/tex]
a este o valoare care depinde de n. Am notat-o asa pentru ca nu ne intereseaza. Ceea ce trebuie mentionat este ca un a de la (1+i)^n este egal cu un a de la (1-i)^n
Luam fiecare caz, si le adunam:
[tex]
\text{I. }n=4k\rightarrow S=\mp2^a\mp2^a\in R\\\\
\text{II. }n=4k+1\rightarrowS=\pm2^a(1+i)\pm2^a(1-i)=\pm2^a(1+i-i)=\pm2^a\in R\\\\
\text{III. }n=4k+2\rightarrow S=\pm2^ai \mp2^ai=0\in R\\\\
\text{IV. }n=4k+3\rightarrow S=\pm2^a(i-1)\mp2^a(1+i)=\\
=\pm2^a(i-1)\pm2^a(-1-i)=\pm2^a(i-1-1-i)=\pm2^a(-2)\in R
[/tex]
