Fiind in liceu, o sa fac urmatoarele 2 presupuneri: stii ce sunt numerele complexe, stii ce este derivata unei functii.Pentru a calcula orice fel de numere transcendente care se afla la exponent, poti sa te folosesti de formula lui Euler, care spune ca:[tex]e^{ix}=\cos{x}+i*\sin{x}[/tex]
Pentru a demonstra aceasta formula, hai sa ne uitam la urmatoarea functie[tex]f(t)=e^{-it}(\cos{t}+i\sin{t})[/tex] Hai sa derivam aceasta functie[tex]f^{\prime}(t)=(e^{-it})^{\prime}(\cos{t}+i\sin{t})+e^{-it}*(\cos{t}+i\sin{t})^{\prime}=-ie^\{-it}(\cos{t}+i\sin{t})+e^{-it}(-\sin{t}+i\cos{t})=-ie^{-it}\cos{t}-i^{2}e^{-it}\sin{t}-e^{-it}\sin{t}+ie^{-it}\cos{t}=e^{-it}\sin{t}-e^{-it}\sin{t}=0[/tex] unde m-am folosit de
[tex]-i^{2}=-(-1)=1[/tex]
[tex]\sin^{\prime}{x}=\cos{x}[/tex]
[tex]\cos^{\prime}{x}=-\sin{x}[/tex]
Daca derivata este 0. inseamna ca functia respectiva este egala cu o constanta[tex]f(t)=C[/tex] indiferent pentru t numar realDaca t=0 atunci avem[tex]f(0)=e^{0}(\cos{0}+i\sin{0})=1(1+0i)=1[/tex] atunci pentru orice t real avem relatia
[tex]f(t)=1\Rightarrow e^{-it}(\cos{t}+i\sin{t})=1\Rightarrow \cos{t}+i\sin{t}=\frac{1}{e^{-it}}\Rightarrow e^{it}=\cos{t}+i\sin{t}[/tex] care este relatia lui Euler de mai sus
Acum sa vedem cat da aceasta relatie pentru [tex]t=\pi[/tex]
[tex]e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1+i0=-1[/tex] Atunci putem scrie relatia din enunt
[tex](-1)^{e}=(e^{i\pi})^{e}=e^{ie\pi}[/tex] apoi folosindu-ne din nou de relatia lui Euler
[tex]e^{ie\pi}=\cos{e\pi}+i\sin{e\pi}=(-1)^{e}[/tex] si de-aici poti calcula valoarea complexa cu ajutorul functiilor trigonometrice
