Răspuns :
[tex]\dfrac{1}{1+\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{\sqrt2+1}+\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\dfrac{1}{\sqrt4+\sqrt3}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}= \\ \\ ($amplificam cu numitorul conjugat la fiecare fractie:) [/tex]
[tex]=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}+\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}+\\ \\ + \dfrac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4-\sqrt3)(\sqrt4+\sqrt3)}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}-\sqrt{99})(\sqrt{100}+\sqrt{99})}= \\ \\ \\ =\dfrac{\sqrt2 -1}{2-1}+ \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\dfrac{\sqrt4-\sqrt3}{4-3}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = \\ \\ =\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3+...+\sqrt{100}-\sqrt{99} = \\ \\ =-1+\sqrt{100} = \sqrt{100}-1[/tex]
[tex]=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}+\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)}+\\ \\ + \dfrac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4-\sqrt3)(\sqrt4+\sqrt3)}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}-\sqrt{99})(\sqrt{100}+\sqrt{99})}= \\ \\ \\ =\dfrac{\sqrt2 -1}{2-1}+ \dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}+\dfrac{\sqrt4-\sqrt3}{4-3}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = \\ \\ =\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3+...+\sqrt{100}-\sqrt{99} = \\ \\ =-1+\sqrt{100} = \sqrt{100}-1[/tex]
Vă mulțumim că ați accesat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați la favorite!