Intr-adevar, formula pentru suma lui Gauss este urmatoarea:
[tex]1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \ sau \ 1+2+3+...+n=[n(n+1)]:2[/tex]
Demonstratie:
Notam suma cu S:
[tex]S=1+2+3+...+n[/tex]
S se mai poate scrie si invers:
[tex]S=n+(n-1)+(n-2)+...+1[/tex]
Observatie: n este ultimul termen, n-1 este predecesorul lui si n-2 predecesorul lui si tot asa...
Adunam S cu S (membru cu membru) si obtinem:
[tex]2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n+1)[/tex]
Facem calculele ramase:
[tex]2S=(1+n)+(1+n)+(1+n)+...+(1+n)[/tex]
Din prima relatie, observam ca termenii au un ,,rang'':
1+n - primul
2+n-1 - al doilea
3+n-2 - al treilea
................
n+1 - ultimul
Vedem: 1,2,3,...n -> deci n termeni.
Revenim la rezultatul nostru:
[tex]2S=(1+n)+(1+n)+(1+n)+...+(1+n)[/tex]
1+n=n+1
[tex]2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)[/tex]
Deoarece am spus ca sunt n termeni, inmultim pe n+1 de n ori:
[tex]2S=n*(n+1)[/tex]
Si impartim prin 2:
[tex]S=[n*(n+1)]:2 \ sau \ fractie: \ S=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Sper ca te-am ajutat.
