👤

Aflati numerele reale a si b care verifica relatia : [tex] \sqrt{a^{2}+6a+34 } [/tex] + [tex] \sqrt{b^2 - 8a +25} [/tex] ≤ 8

Răspuns :

√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≤8
dar
√((a+3)²+25)≥√25=5, ptca (a+3)²≥0
si
√((b-4)²+9)≥√9=3 pt ca (b-4)²≥0
deci
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≥5+3=8 (1)
dar cerinta este ca
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)≤8  (2)

atunci, din (1) si (2)⇒
√((a+3)²+25) +√((b-4)²+9)=8
si deci
a+3=0.................a=-3
si
b-4=0.................b=4









[tex]\it \sqrt{a^2+6x+34} +\sqrt{b^2-8b+25} \leq 8 \ \ \ \ (1)[/tex]

Vom analiza fiecare radical :

[tex]\it \sqrt{a^2+6a+34} = \sqrt{a^2+6a+9+25} = \sqrt{(a+3)^2+25} \geq \sqrt{25} =5 \\\;\\ \sqrt{b^2-8b+25} = \sqrt{b^2-8b+16+9} =\sqrt{(b-4)^2 +9} \geq\sqrt9 = 3[/tex]

Adunăm cele două inegalități (între numere pozitive) și rezultă:

[tex]\it \sqrt{(a+3)^2+25} + \sqrt{(b-4)^2 +9} \geq 8 \ \ \ \ (2)[/tex]

[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow \sqrt{(a+3)^2+25} + \sqrt{(b-4)^2 +9} = 8 \Rightarrow \\\;\\ \Rightarrow \begin{cases} \it a+3 = 0 \Rightarrow a=-3\\\;\\ \it b-4 = 0\Rightarrow b = 4\end{cases} [/tex]



Vă mulțumim că ați accesat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați la favorite!


Ze Studies: Alte intrebari