[tex]X^5=A[/tex]
Aplicăm determinantul: [tex]det\left(X\right)^5=det(A)=0\Rightarrow det(X)=0[/tex]
Fie [tex]X=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}[/tex]
Din relația lui Cayley-Hamilton avem
[tex]X^2-(a+d)X+det(X)\cdot I_2=O_2[/tex]
Rezultă [tex]X^2=(a+d)X[/tex]
Fie [tex]a+d=u\Rightarrow X^5=u^4X=A\Rightarrow X=\frac{1}{u^4}A[/tex]
Avem [tex]A^2=3A\Rightarrow A^5=81A[/tex]
[tex]X^5=\frac{1}{u^{20}}A^5=\frac{81}{u^{20}}A=A\Rightarrow u^{20}=81\Rightarrow u=\sqrt[5]{3}[/tex]
Atunci [tex]X=\frac{1}{\sqrt[5]{81}}A[/tex]
