👤
KIMLBUGZE
a fost răspuns

știind că în triunghiul ABC are loc relația [tex] a^{2} + b^{2} = 2c^{2} [/tex] , arătați că are loc egalitatea [tex] cos^{2}A + cos^{2}B = 2cos^{2} C[/tex] (a=BC, b=AC, c=AB)

Răspuns :


cos²A +cos²B = 2cos²C ⇔ 1 - sin²A + 1 - sin²B = 2(1 - sin²C) ⇔

⇔ 2- (sin²A + sin²B) = 2 -2 sin²C ⇔ sin²A + sin²B = 2 sin²C   (*)


Din teorema sinusurilor, avem:


a/sinA = 2R ⇒ sinA = a/(2R) ⇒ sin²A = a²/(4R²)

b/sinB = 2R ⇒ sinB = b/(2R) ⇒ sin²B = b²/(4R²)

c/sinC = 2R ⇒ sinC = c/(2R) ⇒ sin²C = c²/(4R²)

Acum, relația (*) este echvalentă cu :

a²/(4R²) + b²/(4R²) = 2c²/(4R²) 

După ce înmulțim  ultima relație cu 4R²,  rezultă: 

a² + b² = 2c²

Deci: 

cos²A +cos²B = 2cos²C ⇔ a² + b² = 2c²



Vă mulțumim că ați accesat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați la favorite!


Ze Studies: Alte intrebari