[tex] 3^{x^2-4} = \frac{1}{27} [/tex]
[tex] \frac{1}{27}[/tex] se scrie ca [tex]3^{-3}[/tex]
Deci:
[tex]3^{x^2-4} = 3^{-3}[/tex]
Conform injectivității funcției exponențiale:
[tex]x^2-4=-3\\\\ x^2-1=0\\\\[/tex]
Avem mai multe variante de rezolvare a acestei ecuații:
Metoda 1:
Aplicăm formula [tex]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex] pentru [tex]x^2-1=0[/tex]
Deci:
[tex](x+1)(x-1)=0[/tex]
Un produs a două numere dă 0 când unul dintre numere este 0, motiv pentru care egalăm fiecare paranteză pe rând cu 0.
[tex]x+1=0[/tex], de unde rezultă [tex]x=-1[/tex]
și
[tex]x-1=0[/tex], de unde rezultă [tex]x=1[/tex]
Metoda 2:
[tex]x^2-1=0\\\\
x^2=1[/tex]
Aplicăm radical din membrul stâng și din cel drept.
[tex] \sqrt{x^2} = \sqrt{1}\\\\x=^+_-1,~deoarece~iese~in~modul. [/tex]
Metoda 3:
[tex]x^2-1=0[/tex] este o ecuație de gradul 2, unde a=1, b=0, iar c=-1.
Aplicăm Δ.
[tex]\Delta=b^2-4ac\\\\
\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-1)=4\\\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} =2
\\\\
x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-0+2}{2}= \frac{2}{2}=1\\\\
x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-0-2}{2}=\frac{-2}{2}=-1 [/tex]
