Folosim formula: [tex](a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)[/tex]
Inlocuim in aceasta pe a cu [tex]sin^2x[/tex] si pe b cu [tex]cos^2x[/tex]
Obtinem: [tex](sin^2x+cox^2x)^3=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3+3sin^2xcos^2x(sin^2x+cos^2x) \\ 1=sin^6x+cos^3x+3sin^2xcos^2x[/tex] (am tinut cont de faptul ca [tex]sin^2x+cos^2x=1[/tex])
Deci [tex]sin^6x+cos^3x=1-3sin^2xcos^2x[/tex]
Din inegaliatea mediilor(media geometrica mai mica decat media aritmetica) avem:[tex] \sqrt{sin^2xcos^2x} \leq \frac{sin^2x+cos^2x}{2} = \frac{1}{2} [/tex]
Ridicand la patrat, apoi inmultind inegalitatea cu -3 (la inmultirea unei inegalitati cu nr negativ se schimba sensul!!!) si adunand 1 obtinem:
[tex]sin^2xcos^2x \leq \frac{1}{4} \\
-3 sin^2xcos^2x \geq -\frac{3}{4} \\
1-3 sin^2xcos^2x \geq 1-\frac{3}{4} \\
1-3 sin^2xcos^2x \geq \frac{1}{4}[/tex], deci
[tex]sin^6x+cos^3x\geq \frac{1}{4}[/tex], ceea ce trebuia demonstrat.
